تبلیغات
انجمن ریاضی پژوهشسرای جوان - مساله

انجمن ریاضی پژوهشسرای جوان

مساله

پنجشنبه 11 اسفند 1384

فرض کنید a,b,c اعداد صحیحی باشند كه معادله ax2+bx+c=0 دارای جواب گویا باشد. ثابت كنید حداقل یكی از اعداد صحیح a,b,c باید زوج باشد.

حل: فرض كنیم a,b,c همگی فرد باشند و x=p/q كه p,q نسبت به هم اولند جواب گویای معادله ax2+bx+c=0 باشد. با قرار دادن مقدار x و ضرب معادله در q2 داریم ap2+bpq+cq2=0 .
از آنجا كه فرض كردیم p,q نسبت به هم اولند هردوی آنها نمی توانند زوج باشند.
اگر p,q هر دو فرد باشند آنگاه با در نظر گرفتن فرض اولی كه a,b فردند در می یابیم تمام جملات سمت چپ معادله * فرد می باشد و در نتیجه سمت چپ عبارت فوق فرد می شود كه تناقض است.
اكنون اگر دقیقا یكی از p,q فرد باشند آنگاه دقیقا 2 جمله از 3 جمله سمت چپ * زوج می شود و در این صورت مقدار سمت چپ باز هم فرد می شود و در نتیجه دوباره به تناقض می رسیم.
پس با فرض اول در هر حالت ممكن به تناقض می رسیم، فرض خلف باطل و در نتیجه a,b,c همگی نمی توانند فرد باشند.



[ پنجشنبه 11 اسفند 1384 - 04:03 ق.ظ ]
[ویرایش شده در : - - -]

[ پیام ()|| اعضای انجمن ] [عمومی , ] [+]