تبلیغات
انجمن ریاضی پژوهشسرای جوان - پارادوکس

انجمن ریاضی پژوهشسرای جوان

پارادوکس

پنجشنبه 11 اسفند 1384

پارادوکس در لغت به معنی اشتباه می باشد . پارادکس در ریاضی به اشتباهات واضحی که به چشم نمی آیند گویند ، در زیر نمونه هایی از پارادکس را مشاهـده می کنید ! پاراکس را سـفـسـطه ، متناقـض نما ، پارادوکس و ... نیز می گویند .

 

 

  سـفسـطه در جبر :

 

1 )  می خواهـیم اثبات کنیم 2 = 1 .

برای این کار دو عدد متوالی آ و ب را در نظر می گیریم و به صورت زیر عمل می کنیم .

1- فرض می کنیم x = y .

2- طرفین را در x  ضرب می کنیم . xy = x2 

3- از طرفین y به توان ۲ را کم می کنیم . xy - y2 = x2 - y2

4- آن را تجزیه می کنیم : y(x-y)=(x+y)(x-y) .

5- طرفین را به x-y تقسیم می کنیم : y = x + y   .

6- طبق رابطه 1 داریم : y = 2y .

7- طرفین را به y تقسیم می کنیم : 2 = 1 .

 

2 ) نمونه ای دیگر :

معادله را در نظر می گیریمX - 1 = 2  .

دو طرف تساوی را در X - 5  ضرب می کنیم . 

X2 – 6X + 5 = 2X – 10

عـبارت X – 7 را از دو طف تساوی کم می کنیم .

 X2 – 7X + 12 = X – 3

دو طرف را بر X – 3   تقـسیم می کنیم .

X – 4 = 1

یعـنی X = 5  که نادرستی آن واضع است .

 

 

 

3 ) حالا نشان می دهیم بعضی قوانین ریاضی غـلط است .

از همان معـادله X – 1 = 2  شـروع می کنیم .

فـقـط به طرف چپ تساوی عدد 10 را می افزاییم . آن گاه داریم :

X + 9 = 2

دو طرف تساوی را در X – 3   ضرب می کنیم .

X2 + 6X – 27 = 2X – 6

از دو طف تساوی 2X – 6   را کم می کنیم .

X2 + 4X – 21 = 0

دو طرف را بر X + 7   تقـسیم می کنیم که از آن X – 3 = 0   یا X = 3   که همان جواب معادله X – 1 = 2  اسـت .

 

 

 

 

پارادوكس شیپور گابریل :

 

     در این مقاله این تناقض و جود دارد كه : یك بار ثابت می شود ،تمام رنگ های دنیا برای رنگ كردن یك سطح كافی نیست و از طرف دیگر ثابت می شود با مختصر رنگی ، می توان همان سطح را رنگ كرد .طرح این مسئله بصورت زیر است :

    را در نظر می گیریم   Y=1/x (x>0) تابع حقیقی به صورت، نمودار تابع را در صفحه محور های مختصات رسم می كنیم .

می خواهیم ثابت كنیم سطح زیر منحنی به معادله

Y= 1/x    x>=1

    را نمی توان با همه رنگ های دنیا رنگ كرد .Xو محور را با پی واحد مكعب رنگ می توان كرد .(كه در این صورت سطح جانبی حاصل هم رنگ x2. جسم نامتناهی حاصل از دوران این سطح حول محور

خواهد بود )

3 .سطح جانبی این جسم حاصل از دوران این سطح را نمی توان با همه رنگ های دنیا رنگ كرد .

 

( حل 1 ) در حقیقت سؤال اینست که آیا سطح A در شکل 1 متناهی است ؟

حال به محاسبه اندازه سطح A می پردازیم .

 = lim b+ln (X) { } { } { } { } 1b = lim b{ } { } { } +{ } { } { } ln (b-ln 1)=+{ } { } { }

 نامتناهی است  و نمی توان آن را با تمام رنگ های دنیا رنگ كرد .A پس مقدار

 ها محاسبه می كنیم x راحول محور A(حل 2) حال حجم جسم حاصل ار دوران سطح نامتناهی

Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } { } { } { }  = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { }  = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } (-{ } { } { } )1b  = { } { } { } { }

 واحد مكعب رنگ ، پر از رنگ كرد .{ } { } { } پس می توان آنرا با

 باشد نمی توان رنگ كرد .A در این صورت سطح جانبی جسم هم رنگی خواهد شد. در حالی كه نصف مقطع عرضی آنرا كه همان سطح نامتناهی

(بنا به حل 1)

در ریاضی این جسم  به شیپور گابریل معروف است .

(حل 3) سطح جانبی جسم نامتناهی را محاسبه میكنیم.

S = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { }   (ds = { } { } { }  

S = = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } 2{ } { } { } { } { } { }   = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } 2{ } { } { } { } { } { }

     محاسبه انتگرال اخیر مشكل است ، ولی توجه داشته باشیم كه :

   s>+{ } { } { }          پس می توان گفت كه { } { } { } >{ } { } { } = { } { } { }

    پس سطح جانبی جسم ، نامتناهی است و همه ی رنگ های دنیا برای رنگ كردن آن كافی نیست ، در حالیكه در حل 2 نتیجه گرفتیم كه سطح جانبی به همراه حجم جسم با{ } { } { } واحد مكعب رنگ ، رنگی خواهد شد.

 

پارادکس در حساب

 

در این قـسمت دو نمونه پارادکس در مورد اعداد را بیان می کنیم .

1 )  2 = 1

این بر همه روشن است که :  4 – 6 = 1 – 3 .

اگر دو طف تساوی را در  1-   ضرب کنیم داریم : 6 – 4 = 3 – 1 .

می توان به دو طرف تساوی مقداری را افـزود . بـرای نمونه نه چهارم .

پس هر دو طرف را می توان به صورت مربه یک دو جمله ای نوشت : یعنی در سمت چپ داریم : یک منهای دوسوم به توان دو و در طرف چپ داریم دو منهای سه دوم به توان دو .

حالا از دو طرف تساوی جذر گرفته و دو سوم را کم می کنیم .

داریم : 2 = 1 .

 

2 ) 3 = 2

این تساوی را هم شبیه مورد بالا می توان اثبات نمود .

از آن جا که من نمی دانم چگونه کسر را نشان دهـم به جای کسر ها از حروف اسـتفاده می کنم .

15 – 9 = 10 – 4 .

به دوطرف تساوی بیسـت و پنج را می افزاییم . دو طرف را به مجذور دو جمله ای تبدیل می کنیم . جذر می گیریم و سپس پنج دوم را کم می کنیم .

داریم : 3 = 2 .

با همین روش می توان تمام اعـداد متوالی را با هـم  برابر دانسـت.



[ پنجشنبه 11 اسفند 1384 - 06:03 ق.ظ ]
[ویرایش شده در : - - -]

[ پیام ()|| اعضای انجمن ] [عمومی , ] [+]