تبلیغات
انجمن ریاضی پژوهشسرای جوان - مطالب بهمن 1384

انجمن ریاضی پژوهشسرای جوان

ریاضی وموسیقی

شنبه 29 بهمن 1384

در یونان باستان ریاضیات و موسیقی هر یک بنوبه خود از ابتدای خلقت در مسیر تکامل تمدن بشری نقش موثری داشته اند. ریاضیات بطور مستقیم با پیشرفت گونه های مختلف علوم تجربی، نظری، مهندسی و ... در ارتباط بوده و موسیقی علاوه بر تاثیر مستقیم بر سایر هنرها، همه روزه درحال تعامل با انسان در تمام نقاط جهان است بگونه ای که امروزه از آن حتی بعنوان یک ابزار برای جهت دادن به پدیده های اجتماعی ، سیاسی و فرهنگی استفاده می شود.


مجسمه
 برنجی از فیثاغورث ریاضی دانی
که به موسیقی علاقه بسیار داشت. برای بسیاری از مردم که با ریاضیات سر و کاری ندارند، فرمول ها و قوانین ریاضی بسیار خشک و پیچیده بنظر می رسد و گاهی هم بعنوان رمز یا رازی که میان یک سری اعداد، نشانه ها و علائم عجیب و غریب است، مطرح می شود. بسیاری از مردم - حتی آنها که با ریاضی در ارتباط هستند - معتقدند که ریاضیات یک علم عقلی است و حداکثر توانایی آن مدل سازی پدیده های فیزیکی است، حال آنکه اگر به مسائل و رخدادهای اجتماعی نگاهی بیندازیم بسادگی خواهیم دید که مثلا" توزیع پدیدهای - متغییرهای - تصادفی اجتماعی غالبا" از رفتار توزیع نرمال "گوس" پیروی میکنند، بنابر این نمی توان به این صراحت از ریاضیات بعنوان یک علم نظری محض نام برد.

ریاضیات عقلی در مقابل موسیقی احساسی
اما اگر ریاضیات با عقل انسان در ارتباط است، موسیقی را می توان از مهمترین هنرهایی دانست که بسادگی روح آدمی را تحت تاثیر خود قرار میدهد که خوشبختانه امروزه در جوامع مختلف بصورت بسیار زیادی با زندگی عجین شده است. همه ما حداقل یک قطعه موسیقی را از حفظ بلد هستیم و به هنگام خلوت، هنگام کار یا رانندگی و ... آنرا زمزمه می کنیم. حتی درصد بالایی از مردم توانایی نوازندگی و خوانندگی بصورت آماتور و یا حرفه ای را دارا میباشند. موسیقی در یک نگاه ساده هنری است که تمام مردم می توانند بسادگی با آن تعامل داشته باشند.

اما چگونه ممکن است ریاضیات که علمی کاملا" عقلی است با موسیقی که هنری کاملا" احساسی است، مشابهت هایی با یکدیگر داشته باشند و یا حتی در برخی زمینه ها همگرایی هایی؟


تحقیقات نشان داده که موسیقی مهارت
مغز در حل مسائل فکری را بیشتر میکند

مشخصترین ترین ارتباط میان موسیقی و ریاضی
اولین دخالتی که ریاضیات می تواند در موسیقی انجام دهد از آنجا ناشی می شود که موسیقی ناشی از تکرار برخی اصوات - یا نت های موسیقی - در بازه زمان است. طول مدت نتها را می توان اندازه گرفت و به روابطی میان آنها در بازه زمان دست پیدا کرد. همانند آنچه در تحلیل ریتم های مختلف انجام می شود.

مسئله دیگر بررسی ارتباط فرکانسی میان نت های مختلف موسیقی و ارتباطات میان نت های موسیقی و زیبایی شناسی است که اغلب در مباحث مربوط به فیزیک صوت بررسی می گردد. این ارتباط همچنین می تواند به تحلیل ریاضی گونه از انواع سبک های هارمونی و یا انواع روشهای ساخت ملودی از روی موتیف مشخص و ... باشد.

اما آیا ارتباط موسیقی و ریاضیات در همین حد یعنی مدل کردن رفتار موسیقی با کمک روابط ریاضی است؟

نتایج برخی تحقیقات جدید
بدون شک سخن نا آشنایی نخواهد بود اگر بگوییم که تحقیقات دانشمندان (New Scientist شمار 153) نشان داده است، کودکانی که پیانو می نوازند و آموزش موسیقی می بینند معمولا" :

-
توانایی بیشتری در درست کردن پازل های پیچیده دارند،
-
خیلی بهتر از سایر کودکان شطرنج بازی می کنند،
-
و دارای قدرت استنتاج بیشتری هستند.

همچنین در بررسی دیگری (The American Mathematical Monthly شماره 103) مشاهده شده است که بیش از 68 درصد دانشجویان رشته ریاضی از کلاسهای موسیقی بعنوان دروس اختیاری برای فارغ التحصیل شدن اختیار می کنند. نتیحه این بررسی رابطه نا شناخته میان موسیقی و ریاضی را تا حد زیادی آشکار میکند.

در ادامه مطالبی که در اینباره خواهیم نوشت قصد آن داریم تا بطور خلاصه به روابط پنهان میان موسیقی و ریاضیات بپردازیم و دلیلی بر این موضوع بیاوریم که چرا اغلب موسیقیدانان به ریاضیات و کارهای فکری علاقه دارند و یا اینکه چرا تقریبا" تمام ریاضی دانان به موسیقی عشق می ورزند. (ادامه دارد ...)
 تان موسیقی و ریاضیات (حساب و هندسه) در کنار نجوم تشکیل علوم چهارگانه را می دادند، درواقع یونانیان قدیم به این چهار شاخه از علوم به دیده ریاضیات نگاه می کردند. در آن دوران از تمدن بشری موسیقی بعنوان علمی مطرح بود که توسط آن روابط و نسبت های ریاضی به عمل تجربه می شد و به موسیقی در مدارس به اندازه حساب، هندسه و نجوم بها داده شده، دانش آموزان مجبور بودند در موسیقی نیز به انداز سه علم دیگر کسب معلومات کنند.


تقسیم بندی
 علوم در یونان باستان


تقسیم بندی علوم در یونان قدیم
یونانیان قدیم از ریاضات بعنوان علم مطالعه تغییر ناپذیرها یاد می کردند. آنها این مقوله علمی را به دو دسته بزرگتر یعنی علوم مربوط به مقادیر مجزا (discreet) و مقادیر پیوسته (continued) تقسیم بندی کرده بودند.

مقادیر مجزا شامل دو علم از علوم چهارگانه یعنی حساب و موسیقی بود. آنها مقوله های مربوط به حساب را معادل بررسی مقادیر قابل شمارش و مجزای مستقل می دانستند و موسیقی را بررسی مقادیر مجزایی که با یکدیگر در تناسب و ارتباط هستند می دانستند.

در مقابل علوم مقادیر مجزا، علوم مقادیر پیوسته وجود داشت که شامل هندسه و نجوم بود. هندسه به بررسی سکون و نجوم به بررسی هرآنچه به حرکت مربوط میشد می پرداخت.

بنابراین هماگونه که از این تقسیم بندی (به شکل توجه کنید) بر می آید جایگاه موسیقی هم ردیف سایر شاخه های علم ریاضی بوده است. اما در یک کلام شاید بتوان علم موسیقی ای را که یونانیان باستان آنرا تعریف کرده اند علمی دانست که به بررسی روابط میان صداهای خوشایند و ناخوشایند (در اینجا منظور consonance و dissonance) است، نامید.

اکتشافات فیثاغورث و پیروان او در باره نت های موسیقی
اولین کشف دانشمندان یونان آن بود که اصوات موسیقی ای که فرکانس آنها مضاربی از یکدیگر هستند همواره بصورت خوشایند شنیده می شوند. بسیاری از دانشمندان و حتی مردم عادی متوجه بودند که هنگامی که دو صدای موسیقی با یکدیگر اجرا می شوند لزوما" احساس خوبی را در انسان ایجاد نمی کنند.


کتاب موسیقی و ریاضیات از فیثاغورث تا فرکتال
از منابع مفید راجع به ارتباط ریاضیات و موسیقی
شامل مباحث متنوع تاریخی و نظری با ذکر مثال

آنها همچنین متوجه شده بودند که یکی از مهمترین نسبت های فرکانسی نسبت 1:2 یا همان اکتاو است که طی آن نسبتهایی مانند 2:3 (پنجم) یا 3:4 (چهارم) یا 4:5 (سوم بزرگ) و 5:6 (سوم کوچک) تکرار می شود. یونانیان بخوبی به زیبایی صداهایی که با این نسبت ها بطور همزمان پخش می شدند آگاه بودند و فیثاغورث از جمله کسانی بود که رابطه ریاضی و خوشصدایی موسیقی را در میان تارهای صوتی مورد بررسی قرار داد. در واقع آنها دریافته بودند که نسبتهای x+1 برای x های کوچکتر از 10 و بزرگتر از صفر نسبتهایی است که نتیجه آن فاصله هایی خوش صدا هستند.

تمام این موارد که به نوعی از آنها می توان به عنوان پایه های دانش هارمونی یاد کرد، از دغدغه های علم موسیقی از زمان فیثاغورثیان تا اوایل قرون وسطی بوده است. شاید بزرگترین سئوال آنها این بود که چرا نمی توانند با استفاده از کنار هم قرار دادن نسبت هایی که از آنها نام بردیم به اولین نسبت خوش صدا کشف شده یعنی 1:2 یا اکتاو برسند. (در واقع این نشان می دهد که متاسفانه نسبت x به x+1 هرگز نمی تواند یک نسبت صحیح باشد.)

اما ناگفته نماند که فیثاغورثیان کشف کرده بودند که اگر شش فاصله 9:8 (که همان یک پرده است) را کنار هم قرار دهید به نتی می رسید که تقریبا" با نت اول نسبت 1:2 دارد. (در واقع باید نسبت 9:8 را به توان شش برسانید که نتیجه چیزی حدود 2.0273 می شود.)

در هر صورت هر آنچه بود سالها گذشت تا باخ تصمیم گرفت که این نسبت ها را معتدل کند و مشکلاتی را که از روز اول فیثاغورثیان - به درست - پایه گذار آنها بودند را رفع کند. در گام معتدل باخ هر اکتاو به 12 نیم پرده تقسیم می شود که نیم پرده های متوالی با یکدیگر نسبت ریشه دوازدهم عدد 2 را دارا هستند! تحت این شرایط فاصله پنجم گام معتدل باخ معادل هفت فاصله نیم پرده بوده که کمی کمتر از فاصله فیثاغورثی است(یعنی ریشه دوازدهم عدد 2 به توان 7).

جمع بندی
اما نکته ای که در پایان این بحث باید به آن اشاره کرد آن است که هرچند باخ برای ساده تر کردن مسائل مربوط به کوک موسیقی گام معتدل خود را ارائه کرد، اما باید اعتراف کرد که کوک کردن سازها با فاصله هایی متناسب با ریشه دوازدهم عدد 2 (که نتیجه عددی گنگ است) عملا" باعث شد که موسیقیدان ها برای کوک کردن سازهای خود از دستگاهایی استفاده کنند که نه تنها نمی توانند بصورت دقیق این نسبت ها را مشخص کنند (چون نسبتها گنگ بودند) بلکه بتدریج رابطه احساسی موسیقیدان با این نسبت های زیبای ریاضی در طول زمان به فراموشی سپرده شد، بگونه ای که امروزه بسیاری از نوازندگان و موسیقدانان از ارتباط میان فاصله های موسیقی با نسبت های فیثاغورثی بی خبر هستند.

 


اهرام مصر

مثلث از ابتدایی ترین اشکال هندسی بوده که انسانها در هنر ازاون استفاده میکردند، بدون شک اولین نوع از انواع مثلث هم که در هنر از آن استفاده شده مثلث متساول الاضلاع بوده است. اهرام مصر نمونه بسیاری قدیمی (حدود 2800 سال پیش از میلاد) از کاربری مثلت در هنر معماری قدیم بوده است. نمونه های دیگر از استفاده از مثلث در هنر تمدن های قدیم را می تواند در کاشی کاری های دیواره معابد Pompeii در نپال نیز مشاهده کرد.

معروف هست تالس (640-550 سال پیش از میلاد) که پدر ریاضیات، نجوم و فلسفه یونان باستان بوده از شاگردان خود می خواهد که به مصر سفر کنند تا از پیشرفت علوم در آن تمدن اطلاعات لازم را کسب کنند و فیثاغورث (Pythagoras) از اولین افرادی بوده که این دستور را می پذیرد و به مصر سفر میکند. فیثاغورث از بنیانگذاران علمی موسیقی در جهان بوده و اغلب از هندسه برای مدل کردن استفاده می کرده، می خواهیم با استفاده از تجربیات او سلسه مطالبی را پیرامون ارتباط موسیقی با علوم هندسه، فیزیک و ریاضی آغاز کنیم.


مثلث متساول الاضلاع معادل یک آکورد افزوده

موسیقی را می توانیم به روشهای مختلف مدل کنیم برای شروع کار ساده ترین روش را انتخاب میکنم که عبارت است از مدل کردن عمودی موسیقی یاهمان هارمونی. این روش مدل کردن به موسیقیدان ها کمک می کند تا هنگام فکر یا گوش کردن به هارمونی تصویر بهتری از نت های موسیقی داشته باشند بخصوص برای نوازندگان سازغیر از پیانو.

یک دایره در نظر بگیرید و آنرا به دوازده قسمت مساوی (یک اکتاو کروماتیک) تقسیم کنید و نت ها را به ترتیب روی هر قسمت بنویسد مانند شکل. یکی از ساده ترین اشکال هندسی که در این دایره تقسیم شده می توان ساخت مثلت متساوی الاضلاع می باشد. که اگر آنرا بسازید و به آن دقت کنید تفسیر موسیقی آن یک آکورد افزوده خواهد بود. حتما" شنید که آکوردهای افزوده جدای از اینکه معکوس باشند یا نه چهار حالت بیشتر نیستند که دایره فوق این موضوع را بسادگی نمایش میدهد چرا که اگر راس بالایی مثلث را در جهت عقربه های ساعت حرکت دهیم تا رسیدن به نت E و انطباق دوباره روی خود، می تواند سه حالت دیگر را به خود بگیرد. همچنین به وضوح در شکل می توان دید که یک آکورد افزوده از سه فاصله (که در اینجا هرکدام یک ضلع مثلث هستند) یکسان معادل 4 نیم پرده تشکیل شده است.


آکوردهای بزرگ، کوچک، sus2 و sus4

شما باز هم می توانید مثلث های دیگری درست کنید. به شکل بعدی نگاه کنید که آکوردهای دو ماژور و لا مینور را نمایش میدهد. این دو مثلث (آکورد) خصوصیات جالبی دارند اولا" اضلاع آنها باهم برابر است، ثانیا" نسبت به خطی که از D کشیده میشود و به G# خطم میشود متقارن می باشند، حتما" می دانید که مینور نسبی گام دو ماژور، لامینور می باشد. به این طریق شما می توانید یک روش ساده برای پیدا کردن گامهای مینور و ماژور نسبی پیدا کنید، هر چند اینکار در پیانو بخاطر وضوح دیداری که چیدمان نت ها وجود دارد ساده می باشد.

مثلث های متساوی الساقین هم جالب هستند یکی از آنها آکورد sus2 را تشکیل میدهد که در شکل مشاهده میکنید و همچنین میتوانید آکوردهای کاسته را نیز باز با یک مثلث متساوی الساقین درست کنید. اگر دقت کنید این مثلث متساوی الساقین حالت آکورد sus2 برای C و حالت آکورد sus4 برای G دارد. بنابراین می توان به ارتباط نزدیک آکوردهای sus در حالت های 2 و 4 برای فاصله های پنجم با یکدیگر پی برد. این نکته هم جالب خواهد بود اگر شما راس D در این مثلث را نسبت به راس C قرینه کنید به آکورد sus2 دیگری می رسید که یک پرده عقب تر است آکورد Csus4 قرار دارد.

شما می توانید دامنه مدل کردن را ادامه دهید و راجع به سایر مثلث ها فکر کنید، همچنین می توانید آکوردهای چهار صدایی را با انواع چهار ضلعی ها مدل کنید. سئوالی که پیش می آید این است که آیا هستند افرادی که با شنیدن
[ شنبه 29 بهمن 1384 - 06:02 ق.ظ ]
[ویرایش شده در : - - -]

[ پیام ()|| اعضای انجمن ] [عمومی , ] [+]

جادوی اعداد

شنبه 29 بهمن 1384
   جادوی اعداد   

اگر از كوچه پس كوچه‌های قدیمی شهرآنجایی كه هنوز رگه‌هایی از خانه‌های قدیمی كاهگلی یافت می‌شود گذر كنیم هنوز هم پلاكهای خانه‌هایی را می توان دید كه روی آن 1+12  به جای سیزده نوشته شده است، علت آن را در اعتقادات مردم می توان یافت تحت این عنوان:

 نحس بودن 13 !

آنچه در ادامه خواهید خواند جادوی 13 است كه به نظر جالب می رسد !!!  

 13 عدد اول است.     

 1-13^2  عدد اول مرسن است.

 13جسم ارشمیدسی موجود است. (اجسام ارشمیدسی اجسامی هستند كه وجوه آنها چند ضلعی بوده، نه لزوما از یك نوع ، و كنجهای آنها مساوی هستند.)

 عدد 13كوچكترین Emirp است. (Emirp  عدد اولی است كه اگر ارقام آن را معكوس كنیم مجددا عددی اول خواهد بود مثلا اعداد 13، 17،31، 37،.....)

 169=2^13  بامعكوس كردن ارقام آن داریم: 961="2^31 یعنی رقم های آن مجددا معكوس می شود."

2^13،  1+!12 را عاد می‌كند.

 13عدد Happy است.(برای دانستن این كه عددی Happy است، مجموع مربعات رقمهای عدد را پیدا كرده و دوباره مجموع مربعات عدد بدست آمده را حساب می‌كنیم با ادامه این روند اگر به عدد 1 دست پیدا كردیم آنگاه به آن عدد Happy گفته می‌شود. مثلا برای عدد سیزده  10="2^3+2^1 و 1=2^0+2^1 بنابراین13" عدد Happyاست.)

 13نیمی از  3^3+ 3^1- است.  

شاخه زیتونی كه در پشت دلارهای آمریكا كشیده شده است 13 برگ دارد.

2^13عدد !(1 -13)+ 1را عاد می‌كند بنابراین یك عدد اول ویلسون(Wilson Prime) است. ( هر عدد اول p كه،p و p^2،  مقدار p-1)!+1 ) را عاد كنند، عدد اول ویلسون نامیده می‌شود. مثلا  عدد 5 عدد ویلسون است.  تنها اعداد شناخته شده 5  و 13و 563 است .)

چرتكه چینی دارای  سیزده ستون مهره‌ برای محاسبات است.

  13بزرگترین عدد اولی است كه می تواند به دو عدد متوالی به صورت n^2+3 افراز می شود.(آیا می توانید اثبات کنید؟)

 ● 1+13- 13^13 عدد اول است.

  نخستین حفره‌ی اول با طول سیزده بین دو عدد    113و 127اتفاق می‌افتد. (منظور از حفره‌ی اول تعداد  اعداد مركب بین دوعدد اول متوالی است.)  

 ● 13 كوچكترین عدد اول جایگشت‌پذیر (Permutable Number) است. ( این اعداد، اعداد اولی  حداقل با دو رقم مجزا هستند  كه با تجدید آرایش در رقم هایشان همچنان عددی اول باقی می مانند مثلا برای عدد 337  ، 733 و 373 و 337 عدد اول است از دیگر اعداد از این قسم می‌توان به  13,17,37,79,113,119و جایگشتهای آن اشاره كرد.)

هشت عدد اول دیگر می‌تواند به وسیله تغییر یك رقم از 13 تولید شود.{11, 17, 19, 23, 43, 53, 73, 83}

نخستین بار پرچم امریكا 13 ستاره و 13 خط داشت كه نشان دهنده تعداد مستعمرات اصلی این كشور بود.

عدد 13 كوچكترین عددی است كه ارقام آن در پایه چهار معكوس 13 است. ( 13 در پایه چهار 31 است.)

رویه‌ی بیضوی روی اعداد گویا كه دارای نقطه‌ی گویا از مرتبه‌ی 13 باشد موجود نیست.

2^13= 19+...+8+7

 عدد 2^13توسط مربعات مجزای اعداد 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 بیان می‌شود.

طولانی ترین ركورد پرواز یك جوجه 13 ثانیه است

سیزدهمین روز از فروردین شاید تنها بهانه‌ایی باشد برای گذر از ازدحام شهر و رفتن به طبیعت، اما خوب می‌دانیم اینبار نیز از نحوست 13 فرار می كنیم.

اما 13 برای شما تنها یاآور نحسی آن است؟ 

●131211109876543212345678910111213عدد اول است.

● معكوس عدد 2^13 عددی اول است.

● ELEVEN + TWO = TWELVE + ONE(عبارت فوق تحریفی از حل معادله‌ی 13 است.)

● 13كوچكترین عدد اولی است كه از مجموع مربعات دو عدد اول مجزا یعنی 2^3+2^2 بدست می آید.

●اقلیدس و دیافانتی هر كدام 13 كتاب نوشته‌اند.

●با به كار بردن نخستین سه عدد اول داریم : 13="5+3^2

●فیلم" 13 نوامبر" ، آلفرد هیچكاك  هیچگاه به پایان نرسید.

● بعضی از افراد فكر می كنند كه عدد 13 عددی نحس است.

●مجموع  نخستین 13عداد اول  برابر 13 امین عدد اول است.

●رساله 13 جلدی Almagestبزرگترین كار بطلمیوس بود.  قضیه‌ی ریاضی را با توجه به حركتهای ماه ،خورشید و سیاره ها را فراهم ساخت.

● مجموع باقی مانده های حاصل از تقسیم عدد 13 برنخستین اعداد اول تا 13 برابر 13 است.

●  13كوچكترین عدد اولی است كه مجموع ارقام آن مربع است.

●13كوچكترین عدد اولی است كه به شكل p^2+4(  كه p اول است) نوشته می شود.

● اویلر 13 فرزند داشت كه 5 فرزند او به سن نوجوانی رسیدن و تنها 3 نفر باقی ماندند.

● مجموع توانهای چهارم نخستین 13عدد اول به علاوه‌ی عدد یك ، عددی اول(6870733) است.

● 13  كوچكترین عدد اول Sextanاست این عدد برابر است با : 

(p = (x^6+y^6)/(x^2+ y^2

 

● اگر برای عدد اول pداشته باشیم:p-1)!="-1   " mod p^2 )    آن عدد، عدد ویلسون است. ( تنها اعداد شناخته شده 5 ،13 و 563 است.)

● (13+1)13-13^(13+1) عددی اول است.

● بد یمن بودن روز جممعه ایی كه 13امین  روز ماه باشد یكی از خرافات رایج در جوامع است.

●13كوچكترین عدد اولی است كه به صورت مجموع مجزا از اعداد اول به شكل 4n+3نیست.

●به طور طعنه آمیز گفته می شود كه : 13 ، 15 امین عدد خوشبختی است.

●13بزرگترین عدد اول فبوناچی است كه(13)Fاول است

13 از متصل شدن دو عدد نخست مثلثی ساخته می‌شود.( 1, 1+2, 1+2+3 ...  اعداد مثلثی هستند.)

● مجموع نخستین 13 عدد اول 238كه مجموع ارقامش 13 است

● .به طور طبیعی هر سال 12 ماه دارد اما در حقیقت 13 ماه داریم تعجب نكنید ماه آسمان را فراموش كردید با دوازده ماه سال 13 می شود.

● 13="2^3+1^3+0^3  

●  كوچكترین عدد اولی است كه به صورت مجموع دو عدد اول ( 2+11) نمایش داده می‌شود و همچنین كوچترین عدد اولی است كه به صورت مجموع دو عدد مركب (4+9 ) نوشته می‌شود.

● 13بزرگترین عدد اول مینیمال در پای 3 است. 

● 13/13333333333333 عدد اول است. (توجه كنید كه تعداد ارقام 3 بعد 1 ، 13 عدد است.)

● 13="3+7+3(توجه" كنید كه3^13="(7+3)+7^3)

● 0^10+2^10+3^10+5^10+7^10+11^10+13^10عدد" اول است كه بزرگترین عدد اول نا تیتانیك (Titanic Number) است. ( NumberTitanicاعداد اولی هستند كه تعداد ارقام آن بیشتر از 1000 است.)

● 13-13^2عدد اول است.

● 13+13+13/13+13*13+!13+13^13 و13+13+13/13+13*13+13^13  دو عدد پانزده رقمی اول هستند.

● 13جوابی برای معادله‌ی دیوفانتوسی (Diophantine Equation)  z^2="x^3-y^3" است. یعنی؛ 3^7-3^8="2^13

● 13/(13+13+13+13+13+13+13+131313+13^13) عددی اول است كه شامل 13بار تركیباتی از عدد 13 است مثلا 131313سه بار 13 در آن آمده است.

● ماموریت قمر" آپولو 13" در مسیر ماه بی نتیجه ماند علت انفجار در قسمتی از سفینه بود . نكته جالب این است كه این قمر در ساعت 13:13  پرتاب شده بود  و این اتفاق در 13 اوریل شكل گرفت. ( احتمالا روز جمعه!!!!!!!!)

● 13امین عدد اول مرسن عدد 1-521^2 و 13امین عدد لوكاس (Lucas Number) عدد521است.)اعداد لوكاس اعدادی هستند كه به نام ریاضیدان فرانسوی     EdouardLucasنامگذاری شده اند و در دنباله 1 و3و4و7 و11و.... قرار دارند این دنباله به صورت ذیل ساخته می شود كه جمله اول 1 و دومین جمله 3 جمله های بعدی از مجموع دو جمله قبلی ساخته می شود مثلا جمله سوم مجموع جمله اول با دوم یعنی 1+3 است.

● (13="(!3*!1)+(!3+!1)13" و 31تنها اعداد مرسن Emirp   شناخته شده هستد. 

● 13كوچكترین عدد اولی است كه به شكل p^2+pq+p   نوشته می‌شود.

● معكوس ((1+13^13)^13) یك عدد Brilliantاست. ( به اعدادی Brilliantگویند كه دو فاكتور اول با طول یكسان دارند.)



[ شنبه 29 بهمن 1384 - 05:02 ق.ظ ]
[ویرایش شده در : - - -]

[ پیام ()|| اعضای انجمن ] [عمومی , ] [+]

مقدمه

یکشنبه 23 بهمن 1384
علومی كه از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تكمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی بود. فلسفه ی طبیعی توسط كوپرنیك، برونو، كپلر و گالیله به چالش كشیده شد و از آن میان فیزیك نیوتنی بیرون آمد. چون كلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و كنكاش در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان كنجكاو بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا كلیسا نسبت به آن حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیك از پیشرفت بیشتری برخوردار بود. یكی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود كه آن هم در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد.

در هندسه ی اقلیدسی یكسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفاده از این اصول استنتاج می كردند. اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمی رسید. بنابر اصل پنجم اقلیدس از یك نقطه خارج از یك خط، یك خط و تنها یك خط می توان موازی با خط مفروض رسم كرد. برخی از ریاضیدانان مدعی بودند كه این اصل را می توان به عنوان یك قضیه ثابت كرد. در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاش زیادی كردند و نتیجه نگرفتند. خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات "اصل توازی" مبتكر مفهوم عمیقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان كرد كه كاملا مطابق گزاره هایی بود كه چند قرن بعد توسط والیس و ساكری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار كرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولی متفاوت با آن بیان كردند و هندسه های نااقلیدسی شكل گرفت. بدین ترتیب علاوه بر فلسفه ی طبیعی ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و در مسیری جدید قرار گرفت و آزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید.

1-5 اصطلاحات بنیادی ریاضیات

طی قرنهای متمادی ریاضیدانان اشیاء و موضوع های مورد مطلعه ی خود از قبیل نقطه و خط و عدد را همچون كمیت هایی در نظر می گرفتند كه در نفس خویش وجود دارند. این موجودات همواره همه ی كوششهای را كه برای تعریف و توصیف شایسته ی آنان انجام می شد را با شكست مواجه می ساختند. بتدریج این نكته بر ریاضیدانان قرن نوزدهم آشكار گردید كه تعیین مفهوم این موجودات نمی تواند در داخل ریاضیات معنایی داشته باشد. حتی اگر اصولاً دارای معنایی باشند.

بنابراین، اینكه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم ریاضی نه قابل بحث است و نه احتیاجی به این بحث هست. یك وقت براتراند راسل گفته بود كه ریاضیات موضوعی است كه در آن نه می دانیم از چه سخن می گوییم و نه می دانیم آنچه كه می گوییم درست است.

دلیل آن این است كه برخی از اصطلاحات اولیه نظیر نقطه، خط و صفحه تعریف نشده اند و ممكن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی آنكه در درستی نتایج تاثیری داشته باشد. مثلاً می توانیم به جای آنكه بگوییم دو نقطه فقط یك خط را مشخص می كند، می توانیم بگوییم دو آلفا یك بتا را مشخص می كند. با وجود تغییری كه در اصطلاحات دادیم، باز هم اثبات همه ی قضایای ما معتبر خواهد ماند، زیرا كه دلیل های درست به شكل نمودار بسته نیستند، بلكه فقط به اصول موضوع كه وضع شده اند و قواعد منطق بستگی دارند.

بنابراین، ریاضیات تمرینی است كاملاً صوری برای استخراج برخی نتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احكامی می سازند به صورت هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتی از معنی فرضها یا راست بودن آنها نیست. این دیدگاه (صوریگرایی) با عقیده ی كهن تری كه ریاضیات را حقیقت محض می پنداشت و كشف هندسه های نااقلیدسی بنای آن را درهم ریخت، جدایی اساسی دارد. این كشف اثر آزادی بخشی بر ریاضیدانان داشت.

2-5 اشكالات وارد بر هندسه اقلیدسی

هندسه ی اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شكل گرفت:

اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر كشید.

اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.

اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم كرد.

اصل چهارم - همه ی زوایای قائمه با هم مساوی اند.

اصل پنجم - از یك نقطه خارج یك خط، یك خط و و تنها یك خط می توان موازی با خط مفروض رسم كرد.

اصل پنجم اقلیدس كه ایجاز سایر اصول را نداشت، به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یك قضیه شباهت داشت تا به یك اصل. بنابراین طبیعی بود كه لزوم واقعی آن به عنوان یك اصل مورد سئوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد كه شاید بتوان آن را به عنوان یك قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج كرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد.

در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فوركوش بویوئی و ... تلاش كردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرند و آن را به عنوان یك قضیه اثبات كنند. اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثباط خود به كار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید.

یانوش بویوئی یكی از ریاضیدانان جوانی بود كه در این را تلاش می كرد. پدر وی نیز ریاضیدانی بود كه سالها در این مسیر تلاش كرده بود .
و طی نامه ای به پسرش نوشت: تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش كنی، من پیچ و خم این راه را از اول تا آخر می شناسم. این شب بی پایان همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به كام نابودی فرو برده است، التماس می كنم دانش موازیها را رها كنی.
ولی یانوش جوان از اخطار پدیر نهرسید، زیرا كه اندیشه ی كاملاً تازه ای را در سر می پروراند. او فرض كرد نقیض اصل توازی اقلیدس، حكم بی معنی ای نیست. وی در سال 1823 پدرش را محرمانه در جریان كشف خود قرار داد و در سال 1831 اكتشافات خود را به صورت ضمیمه در كتاب تنتامن پدرش منتشر كرد و نسخه ای از آن را برای گائوس فرستاد. بعد معلوم شد كه گائوس خود مستقلاً آن را كشف كرده است.
بعدها مشخص شد كه لباچفسكی در سال 1829 كشفیات خود را در باره هندسه نااقلیدسی در بولتن كازان، دو سال قبل از بوئی منتشر كرده است. و بدین ترتیب كشف هندسه های نااقلیدسی به نام بویوئی و لباچفسكی ثبت گردید.

3-5 هندسه های نا اقلیدسی

اساساً هندسه نااقلیدسی چیست؟ هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی می نامند. از این گونه هندسه ها تا به حال زیاد شناخته شده است. اختلاف بین هندسه های نا اقلیدسی و اقلیدسی تنها در اصل توازی است. در هندسه اقلیدسی به ازای هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن یك خط می توان موازی با آن رسم كرد.
نقیض این اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازی كه از یك نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم كرد، بیش از یكی است. و یا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به این دو نقیض، هندسه های نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم كرد.

یك - هندسه های هذلولوی

هندسه های هذلولوی توسط بویوئی و لباچفسكی بطور مستقل و همزمان كشف گردید.

اصل توازی هندسه هذلولوی - از یك خط و یك نقطه ی نا واقع بر آن دست كم دو خط موازی با خط مفروض می توان رسم كرد.

دو - هندسه های بیضوی

در سال 1854 فریدریش برنهارد ریمان نشان داد كه اگر نامتناهی بودن خط مستقیم كنار گذاشته شود و صرفاً بی كرانگی آن مورد پذیرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعدیل جزئی اصول موضوعه دیگر، هندسه سازگار نااقلیدسی دیگری را می توان به دست آورد. پس از این تغییرات اصل توازی هندسه بیضوی بصورت زیر ارائه گردید.

اصل توازی هندسه بیضوی - از یك نقطه ناواقع بر یك خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم كرد.

یعنی در هندسه بیضوی، خطوط موازی وجود ندارد. با تجسم سطح یك كره می توان سطحی شبیه سطح بیضوی در نظر گرفت. این سطح كروی را مشابه یك صفحه در نظر می گیرند. در اینجا خطوط با دایره های عظمیه كره نمایش داده می شوند. بنابراین خط ژئودزیك یا مساحتی در هندسه بیضوی بخشی از یك دایره عظیمه است.

در هندسه بیضوی مجموع زوایای یك مثلث بیشتر از 180 درجه است. در هندسه بیضوی با حركت از یك نقطه و پیمودن یك خط مستقیم در آن صفحه، می توان به نقطه ی اول باز گشت. همچنین می توان دید كه در هندسه بیضوی نسبت محیط یك دایره به قطر آن همواره كمتر از عدد پی است.

4-5 انحنای سطح یا انحنای گائوسی

اگر خط را راست فرض كنیم نه خمیده، چنانچه ناگزیر باشیم یك انحنای عددی k به خطی نسبت دهیم برای خط راست خواهیم داشت k=o انحنای یك دایره به شعاع r برابر است با k=1/r.

تعریف می كنند. همچنین منحنی هموار، منحنی ای است كه مماس بر هر نقطه اش به بطور پیوسته تغییر كند. به عبارت دیگر منحنی هموار یعنی در تمام نقاطش مشتق پذیر باشد.

برای به دست آوردن انحنای یك منحنی در یك نقطه، دایره بوسان آنرا در آن نقطه رسم كرده، انحنای منحنی در آن نقطه برابر با انحنای دایره ی بوسان در آن نقطه است. دایره بوسان در یك نقطه از منحنی، دایره ای است كه در آن نقطه با منحنی بیشترین تماس را دارد. توجه شود كه برای خط راست شعاع دایره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بینهایت است.

برای تعیین انحنای یك سطح در یك نقطه، دو خط متقاطع مساحتی در دو جهت اصلی در آن نقطه انتخاب كرده و انحنای این دو خط را در آن نقاط تعیین می كنیم. فرض كنیم انحنای این دو خط

 k1=1/R1  و  k2=1/R2

باشند. آنگاه انحنای سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب این دو انحنا، یعنی :

k=1/R1R2 

انحنای صفحه ی اقلیدسی صفر است. همچنین انحنای استوانه صفر است:

k=o

برای سطح هذلولوی همواره انحنای سطح منفی است :

k< 0

برای سطح بیضوی همواره انحنا مثبت است :


k>o

در جدول زیر هر سه هندسه ها با یكدیگر مقایسه شده اند:

 

نوع هندسه

تعداد خطوط موازی

مجموع زوایای مثلث

نسبت محیط به قطر دایره

اندازه انحنا

اقلیدسی

یك

180

عدد پی

صفر

هذلولوی

بینهایت

< 180

> عدد پی

منفی

بیضوی

یکشنبه 23 بهمن 1384 - 05:02 ق.ظ ]
[ویرایش شده در : - - -]

[ پیام ()|| اعضای انجمن ] [عمومی , ] [+]